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清华大学强军计划考研数学真题

时间:2015-05-30     来源:     作者:      点击量:931

2004年强军计划考研真题

一、填空题(每小题9分,共54分)

1、

2、

3、ln(cosx)在点x=0处展开至x4项的局部泰勒公式为         。

4、

5、设(x0,y0(x00)是椭圆x2+2y2=1上的点,那么函数f(x,y)=y/x2在(x0,y0)点,沿椭圆在该点处外法向量的方向导数等于        。

6、设D为圆域x2+y2x,则          。

7、累次积分          。

8、幂级数 的收敛域为         ,和函数为         。

9、(y2-2xdy-ydx=0的通解是         。

 

二、单选题(每小题中,四个选项只能选一项。每小题5分,共25分)

1、在曲线y=1/x (0)上的任一点Px,y)处作切线,该切线分别交x轴与y轴于AB,则(   )

A. PA   B. PA=PB   C. PA>PB   D. PA,PB的大小关系与P的位置有关

2、设   则(   )

A.f(x)在(-,+∞)上并非点点连续;

B.f(x)在(-∞,+∞)上连续,但是f(x)在(-,+∞)上并非点点可导;

C.f(x)在(-∞,+∞)上可导,但是f(x)在(-∞,+∞)上并非点点连续;

D.f’(x)在(-∞,+∞)上连续。

3、若 ,则F(x) (  )

A.不为常数   B.为正常数   C.为负常数   D.恒为零

4、当n→∞时,(1+1/nn-e1/n的(  )

A.高阶无穷小   B.低阶无穷小   C.等价无穷小   D.同阶但非等价无穷小

5、

A.条件收敛   B.绝对收敛   C.发散   D.其他情况

 

三、(13分)求旋转抛物面z=(x2+y2)/2与平面2x+2y+z+6=0之间的最短距离。

 

四、(13分)设某公司所属甲、乙两工厂生产同一产品,当甲、乙两工厂的产量分别为xy时,总成本Qx,y=3x2+xy+y2+200000()。现有总成本530000元,问如何分配甲、乙两工厂的产量,才能使甲、乙两工厂的产量之和为最大?

 

五、(13分)设p(t)为某地区的人口数量函数,现时刻(t=0)的人口数为P0,根据生态条件知,该地区能容纳的最大人口数为Pm。假定人口数在任一时刻t的增长率与Pm-p(t)成正比,比例常数为k。试求该地区的人口数量函数p(t).

 

六、(9分)求曲线积分 ,其中C是一条光滑的简单闭曲线,原点在其所围成的区域的内部,沿反时针方向,且a,b>0

 

七、(10分)设f(x)[0,1]上有连续的一阶导数,且f(x)0,f(x)0.F(x)=0xf(t)dt,求证:对任意的x∈(0,1),都有xF(1)F(x)201F(t)dt

 

 

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